Thứ hai, 10/12/2018 20:29:32
RÈN KỸ NĂNG VẼ HÌNH, KHẢ NĂNG PHÂN TÍCH TÌM LỜI GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC

Ngày: 28/12/2015

PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ

 

I.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

I.1.1. Cơ sở lí luận:

          Môn toán học là một môn quan trọng chủ yếu đối với sự phát triển của môn khoa học khác như: vật lí, hóa học, sinh học,.... Toán học cùng với ngành khoa học khác quan hệ mật thiết với nhau và cùng nhau phát triển. Vì vậy nó được đ  ưa ngay vào từ lớp một và theo đuổi con người  cho tới khi ngừng học.

          Vì tầm quan trọng của môn toán học như vậy nên nó vẫn phải được quân tâm cả về nội dung và phương pháp giảng dạy.

          Những kiến thức toán học phổ thông cơ sở giúp học sinh THCS có cơ sở để giải quyết các bài tập toán học đặt ra. Trong chương trình toán học cơ sở đặc biệt bộ môn hình học là môn khoa học rèn luyện cho HS khả năng đo đặc, tính toán, suy luận logic phát triển tư duy sáng tạo cho HS. Tuy vây môn học này có tính trừu tượng cao HS luôn coi là môn học khó. Vì vậy muốn học tốt môn học này không những đòi hỏi HS phải có các kỹ năng đo đạc tính toán như các môn học khác, mà còn phải có kỹ năng vẽ hình, Khả năng tư duy hình học, khả năng phân tích tìm lời giải, khả năng khai thác bài toán.

          Do vậy người thầy phải tạo cho HS hướng suy nghĩ tìm tòi, khám phá ra hướng chứng minh cho mõi bài toán hình học từ đó HS hứng thú say mê yêu thích môn học và vận sáng tạo kiến thức môn học vào thực tiễn và cuộc sống.

I.1.2. Cơ sở thực tiễn:

          Khách quan cho thấy hiện nay năng lực học môn hình học của HS còn thấp. Khi nói đến  môn hình học HS thường ngại học, quá trình vận dụng kiến thức đã học vào bài tập còn gặp nhiều bế tắc, vẽ hình thiếu chính xác, trình bày không biết bắt đầu từ đâu như thế nào, suy luận chưa logic, thiếu căn cứ, luẩn quẩn.

          Đa số HS chỉ làm những bài toán chứng minh hình học đơn giản. Song thực tế nội dung của bài toán thì rất phong phú và có nhiều cách giải khác nhau. Hơn nữa HS khai thác bài toán thì rất hạn chế ngay cả đối với HS khá giỏi cũng rất lúng túng.

          Thông thường GV thường giải đến đâu vấn đáp đến đó, ít quan tâm đến rèn luyện các thao tác tư duy và phương pháp suy luận.

          Qua thực tế bản thân tôi nhận thấy rằng để gây hứng thú cho HS học tập bộ môn, kích thích sự tìm tòi, sáng tạo khám phá kiến thức của HS, người thầy với vai trò chủ đạo cần định hướng giúp HS rèn kỹ năng vẽ hình, khả năng phân tích tìm lời giải và nhìn nhận bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau.

          Đứng trước thực trạng trên tôi quyết định viết sáng kiến kinh nghiệm này mang tên: “Rèn kỹ năng vẽ hình, khả năng phân tích tìm lời giả bài toán hình học.”

I.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Đề ra các giải pháp để rèn kỹ năng vẽ hình, phân tích tìm lời giải và khai thácbài toán hình học. Từ đó giúp HS nắm vững và hiểu sâu kến thức cơ bản,  hình thành cho học sinh phương pháp làm bài tập hình học hiệu quả hơn.

- Nhằm nâng cao  nâng cao chât lượng dạy và học toán trong nhà trường THCS.

I.3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Phạm vi nghiên cứu đề cập đến việc rèn luyện kỹ năng vẽ hình, phân tích tìm lời giải cho bài toán hình.

- Đối tượng nghiên cứu: kĩ năng giải các bài toán hình học đối với HS.

I.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

-  Quan sát thực tế, phân tích, tổng hợp.

- Thông qua quá trình giảng dạy tìm tòi nghiên cứu và tích lũy được.

1.5. GIỚI HẠN VỀ KHÔNG GIAN CỦA ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

          Nghiên cứu tại trường THCS Cao Minh – thị xã Phúc Yên – tỉnh Vĩnh Phúc.

1.6. KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU

- Từ tháng 7/2014 đến tháng 8/2014.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PHẦN II. NỘI DUNG

 

II.1. MỘT SỐ KHÓ KHĂN CỦA HỌC SINH KHI HỌC HÌNH HỌC

II.1.1. Vẽ hình bài toán:

- Một trong những yếu tố quyết định đến việc giải một bài toán hình học là vẽ hình chính xác. Qua thực tế dạy học tôi thấy việc vẽ hình trong một bài toán là tương đối khó khăn với học sinh, các em hay vẽ hình thiếu chính xác hoặc vẽ hình dẫn đến việc ngộ nhận kết quả, cũng có bài toán với cách vẽ hình khác nhau thì dẫn đến chứng minh theo con đương khác nhau. Nguyên nhân do chưa đọc kĩ bài, chưa biết xác định bài cho gì (GT), yêu cầu làm gì (KL) hoặc sử dụng các dụng cụ, thao tác chưa chính xác hay vẽ hình còn cẩu thả ... dẫn đến gây trở ngại cho việc định hướng chứng minh.

Ví dụ: + Khi vẽ hai góc, hai cạnh bằng nhau, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, tia phân gics của một góc, trung điểm cúa một đoạn thẳng, đường cao, đường trung tuyến, đường tròn ngoại tiếp, ….HS chưa thánh thạo thậm chí còn vẽ sai.

          + Không biết kí hiệu một cách hợp lí trên hình vẽ (GT cho) để hỗ trợ trong việc chứng minh.

- Đôi khi  vẽ hình, học sinh còn vẽ vào trường hợp đặc biệt, dẫn đến ngộ nhận làm cho việc xây dựng hướng chứng minh sai lầm, không chứng minh được hay chứng minh sai.

Ví dụ: Cho đoạn AB. Gọi I  là trung điểm của AB. vẽ hai điểm M, N đối xứng với nhau qua I. (Bốn điểm M,N,A,B không thẳng hàng). Tứ giác MANB là hình gì?

Nếu trong bài này học sinh vẽ vào trường hợp AB là trung trực của MN và MN đi qua I thì MANB sẽ là hình thoi.

Hoặc bài toán cho tam giác bất kì thì HS thường vẽ vào trường hợp tam giác cân, tam giác vuông, tam giác đều.

II.1.2. Khả năng suy luận hình học còn hạn chế, dẫn đến việc xây dựng kế hoạch giải còn khó khăn:

- Khi đã vẽ xong hình, việc tìm ra hướng giải bài toán là khó khăn nhất. Thực tế cho thấy học sinh thường bị mắc ở khâu này. Nguyên nhân ở chỗ các em chưa biết sử dụng giả thiết đã cho để kết  hợp với khả năng phân tích hình vẽ để lựa chọn cách làm bài. Việc huy động những kiến thức đã học để phục vụ cho việc chứng minh còn hạn chế, có em còn lẫn lộn giữa giả thiết và kết luận. Việc liên hệ các bài toán còn chưa tốt, khả năng phân tích, tổng hợp ... của học sinh còn yếu. Nhiều bài toán đã được giải nếu thay đổi dữ kiện thì học sinh còn khó khăn khi giải.

II.1.3. Việc trình bày bài của học sinh còn thiếu chính xác, chưa khoa học, còn lủng củng, nhiều khi đưa ra khẳng định còn thiếu căn cứ, không chặt chẽ:

    HS khi trình bày bài giải vẫn còn lủng củng thiếu lôgic không chặt chẽ , sử dụng các kí hiệu không đúng quy định có khi còn bỏ qua như kí hiệu góc,kí hiệu cung  kí hiệu của tam giác, kí hiệu của đường tròn, kí hiệu về đỉnh đôi khi còn viết chữ thường, kí hiệu của điểm còn viết chũ thường ...

    Từ những thực tế trên, người thầy phải tìm ra những biện pháp hữu hiệu để khắc phục những nhược điểm của học sinh, gây hứng thú học tập ở học sinh, phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh, rèn luyện cách trình bày cho khoa học.

II.2 KỸ NĂNG VẼ HÌNH, PHÂN TÍCH TÌM LỜI GIẢI

II.2.1. Hướng dẫn vẽ hình:

- Qua việc đo đạc, vẽ hình học sinh nắm được những thao tác vẽ bài bản hơn. Song thực tế cho thấy trong bài toán hình học vẽ hình là công việc khó đối với học sinh, thậm chí ngay ở những bài mà hình vẽ không khó, học sinh vẫn có thể mắc sai lầm. Đối với học sinh  rèn luyện cách vẽ hình là rất quan trọng. Do vậy người thầy cần phải khai thác tốt giờ luyện tập để học sinh biết sử dụng dụng cụ vẽ hình, kiểm tra hình vẽ nhờ dụng cụ, vẽ hình xuôi ngược để rèn luyện kĩ năng vẽ hình. Cần tập cho học sinh thói quen: muốn vẽ hình chính xác trước hết phải nắm thật chắc đề bài, bài cho gì và yêu cầu làm gì, tức phải phân biệt được rõ ràng giả thiết và kết luận. Khi vẽ, nên xét xem nên vẽ gì trước, chọn dụng cụ nào vẽ để cho hình vẽ chính xác đơn giản hơn và những gì giả thiết đã cho cần phải thể hiện kí hiệu quy ước trên hình vẽ. GV cần lưu ý HS  nên chứng minh đến đâu vẽ hình đến đó mục đích để tránh hình vẽ bị rối khó tìm lời giải.

Ví dụ 1: Cho đường tròn (O; R) và điểm A với . Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN.

a) Chứng minh rằng tứ giác AMON là hình vuông.

b) Gọi H là trung điểm của dây MN, chứng minh rằng ba điểm A, H, O thẳng hàng.

*Hướng dẫn học sinh vẽ hình: 

? Ta vẽ gì trước? Dùng dụng cụ gì?(HS dễ dàng vẽ được đường tròn (O;R))

? Tiếp theo em cần làm gì? (Vẽ điểm A sao cho )

Tuy nhiên để xác định chính xác điểm A sao cho đối với học sinh không phải là rễ.

GV: HD  là đường chéo của hình vuông cạnh R do vậy cần phải vẽ góc vuông (M,N thuộc (O;R)) OM=ON=R => Từ M kẻ Mx OM, Từ N kẻ Ny NO => Điểm A là giao của Ny và Mx => ta được hình vuông AMON có OM=ON=R và  .Và ta cũng được AM,AN là hai tiếp tuyến cần vẽ của (O;R)

? Vẽ điểm H như thế nào dễ hơn?(HS dễ dàng xác định được H là giao điểm của hai đường chéo AO và MN của tam giác vuông AMON)

GV: cho HS lên bảng vẽ hình theo HD trên.

Trong chương trình hình học nhiều bài toán điều có thể vẽ hình chính xác ngay khi đọc từng câu.Song có những bài học sinh phải đọc hết toàn bộ bài thậm chí phải dựa vào cả kết luận mới vẽ được chính xác, có khi vẽ lần đầu chỉ là phác hoạ, không đảm bảo sự chính xác của nội dung bài, từ hình phác hoạ đó phải tiến hành phân tích các số liệu đã cho trên hình rồi từ đó có cách vẽ lần sau trọn vẹn.

Ví dụ 2:

Cho góc xOy khác góc bẹt. Lấy các điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA < OB. Lấy các điểm C, D thuộc tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. CMR:

a, AD = BC

b, rEAB = rECD                              

c, OE là tia phân giác của .

       *Hướng dẫn học sinh vẽ hình: 

? Ta vẽ gì trước? Góc đó thoả mãn điều kiện gì?

    HS dễ dàng vẽ được góc xOy ≠1800

? Tiếp theo em cần làm gì?

Lấy điểm A,B Ox sao cho OA < OB dễ dàng  nhưng lấy điểm C và D thì lại phải phụ thuộc vào A và B (vì OC = OA, OD = OB).

? Nên dùng dụng cụ nào để xác định C và D? ...

- Trong chương trình hình học nhiều bài toán điều có thể vẽ hình chính xác ngay khi đọc từng câu.Song có những bài học sinh phải đọc hết toàn bộ bài thậm chí phải dựa vào cả kết luận mới vẽ được chính xác, có khi vẽ lần đầu chỉ là phác hoạ, không đảm bảo sự chính xác của nội dung bài, từ hình phác hoạ đó phải tiến hành phân tích các số liệu đã cho trên hình rồi từ đó có cách vẽ lần sau trọn vẹn.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AB (D và C nằm khác phía đối với AB), AD =AB. Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AC (E và B nằm khác phía đối với AC), AE = AC. Biết rằng DE = BC. Tính góc BAC

     * Hướng dẫn học sinh vẽ hình: 

Để vẽ được chính xác hình bài này cần phải vẽ phác hoạ. Thực tế khi dạy bài này  cho học sinh chỉ một số ít học sinh vẽ đúng được hình, một số em không vẽ được hình từ đó không làm được bài.

          Mấu chốt để vẽ hình chính xác là phải dự đoán được = 900 (KL bài)

Thật vậy từ hình vẽ phác hoạ ta có ngay:

 

 
 

 

 

 

                                          

 

 

 

 

ABC =ADE (c.c.c). Mà Â24=900

Từ đó ta vẽ tam giác ABC có Â=900

Thực tế còn có những bài toán mà có thể có nhiều hình vẽ, mỗi một hình cho ta một đáp số. Với loại bài này phải cho học sinh thấy cần vẽ tất cả các trường hợp có thể xảy ra.

II.2.2. Các phương pháp phân tích tìm lời giải:

a. Phân tích hình vẽ và sử dụng giả thiết để tìm cách giải:

- Sau khi đã vẽ hình cần phải quan sát trên hình vẽ xem đã có thể hiện đày đủ giả thiết trên hình vẽ chưa (cần chú ý các kí hiệu theo quy ước). Trên cơ sở phân tích hình vẽ và huy động vốn kiến thức đã có học sinh sẽ định hướng được việc giải bài toán dưới sự dẫn dắt của thầy giáo b.

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC (AB ≠ AC), tia Ax đi qua trung điểm M của BC. Kẻ BE và CF vuông góc với tia Ax (E A x, F A x). So sánh các độ dài BE và CF.

 

      *Dẫn dắt bằng hệ thống câu hỏi:

? So sánh hai đoạn thẳng có các khả năng nào xảy ra?

? Từ hình vẽ em dự đoán sẽ xảy ra trường hợp nào?

? Hãy chứng minh dự đoán đó?

HS sẽ biết được để chứng minh BE = CF dựa vào sự bằng nhau của hai tam giác.

Ví dụ 5:  Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC. Qua A kẻ đường thẳng xy (B, C nằm cùng phía đối với xy). Kẻ BD và CE vuông góc với xy. Chứng minh rằng:

a, BAD = ACE

b, DE = BD + CE

      * Hướng dẫn học sinh phân tích hình vẽ:

          Phần a, BAD và ACE là hai tam giác vuông có một cặp cạnh huyền bằng nhau. Vậy để chứng minh BAD = ACE cần có thêm một cặp góc nhọn bằng nhau nữa?

          Từ đó suy ra mấu chốt của vấn đề: cần chứng minh 1=1 hoặc 2= 2

          Phần b, chứng minh một đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng mà chúng không nằm trên một đường thẳng ta làm thế nào để giải quyết vấn đề này? Xét xem có các đoạn nào bằng đoạn BD và CE ?

DE = DA + AE = BD + CE(Thay thế các đoạn bằng nhau)

Ví dụ 6: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Gọi C là một điểm thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến CE với nửa đường tròn (E là tiếp điểm khác A), CE cắt By ở D.

1. Chứng minh; Từ đó suy ra CE.ED = R2

2. Chứng minh AEB và COD đồng dạng.

      * Hướng dân bằng hệ thống câu hỏi:

 

 

 

 

 

 

1.Chứng minh:; Từ đó suy ra CE.ED =R2

                                                                                            

?Ch/minh , ta chứng minh điều gì ?

 

 

Với cách 1 GV hỏi tiếp:

?Góc liên hệ với các góc nào ?

 

 

?Vận dụng yếu tố nào của đề bài để tìm?

?Tổng hai góc là bao nhiêu? Vì sao ?

?Hệ thức nào trong vCOD có chứa tích CE.ED?

?Đoạn thẳng nào có độ dài bằng R và có liên hệ với CE, ED ?

HS:cách 1:COD có

      Cách 2: cm cho OC và OD là tia phân giác của hai góc kề bù (,)

HS::

HS: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau => CO,DO là hai tia phân giác của hai góc

HS: (2 góc trong cùng phía của AC//BD)

HS: CE.ED = OE2

HS: OE  có độ dài bằng R và có liên hệ với CE, ED

 

 

2. Chứng minh AEB  đồng dạng với COD:

? Trước hết cho học sinh nhận xét hình vẽ. Hai tam giác học sinh chứng minh đồng dạng là tam giác gì ?

?Với giả thiết đã cho để chứng minh hai tam giác vuông AEB và COD đồng dạng  ta cần chỉ ra được yếu tố nào?

?Áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có; Vậy để chứng minh  ta phải ch/minh điều gì?

? c/m bằng cách nào?

GV:Gợi ý:BE và DO có quan hệ gì? Từ đó suy ra điều gì?

HS: Hai tam giác cần chứng minh đồng dạng là tam giác vuông nên có thêm đk

 

HS:

 

 

HS:

 

 

 

HS:  =>(góc có hai cạnh tương ứng vuông góc)

* Học sinh có thể chứng minh  (do cùng phụ với hoặc)

         * Cũng có thể chứng minh vAEB và vCOD có nên đồng dạng bằng cách vận dụng góc nội tiếp, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.

b. Sử dụng phương pháp phân tích đi lên để tìm hướng làm bài:

Giải bài tập hình học bằng phương pháp phân tích đi lên là phương pháp giúp HS dễ hiểu, có kỹ thuật giải toán hình hệ thống, chặt chẽ và hiệu quả nhất. Nếu giáo viên kiên trì làm tốt phương pháp này, cùng học sinh tháo gỡ từng vướng mắc trong khi lập sơ đồ chứng minh, cùng các em giải các bài tập từ dễ đến khó thì tôi tin rằng sẽ làm cho các em hứng thú với môn hình và kết quả sẽ cao hơn.Vậy thế nào là phương pháp phân tích đi lên? Có thể khái niệm rằng, đây là phương pháp dùng lập luận để đi từ vấn đề cần chứng minh dẫn tới vấn đề đã cho trong một bài toán. Thường thì chứng minh trong một bài toán ta phải suy xuôi theo sơ đồ:

A = A0  A1  A2  ... An = B

Sơ đồ chứng minh bằng phương pháp phân tích đi lên có thể được khái quát như sau:

                                                                   (1)     (2)      (3)    (n)

          Cần chứng minh vấn đề A= A0  A1 A2  ...  An. Trong mỗi bước suy luận (1), (2), (3), ...(n) đều được suy luận ra từ cơ sở luận chứng trước nó, cụ thể có được A đúng thì phải có A1 đúng, để có A1 đúng thì phải có A2đúng... đến An là một điều đã biết, đã được chứng minh là đúng hoặc đã có từ giả thiết.

Từ kinh nghiệm giảng dạy thực tế, chúng tôi thấy phương pháp phân tích đi lên luôn có tác dụng gợi mở, tác động mạnh đến tư duy của HS (bao gồm tư duy phân tích và tư duy tổng hợp). Từ đó giúp các em hệ thống và nhớ được các kiến thức liên quan đã học trước đó. Trong quá trình giải bài tập, các em vừa đi tìm đáp số vừa có dịp “hồi tưởng” lại những kiến thức mình đã học mà có khi không nhớ hết.Có thể nói trong khi giải bài tập bằng phương pháp phân tích đi lên thì việc lập được sơ đồ chứng minh là đã thành công được một nửa, phần việc còn lại là bằng phương pháp tổng hợp sắp xếp các bước theo một trình tự logic, trong đó mỗi bước lại có các căn cứ, luận chứng

Ví dụ7: Trở lại Ví dụ1:

Phần a, có thể dẫn dắt học sinh theo cách sau:

AD =  BC

*

OAD = OCB

*

OA = OC

: góc chung

OD = OB

Phần c,

1 = 2

*

*  OAE = OCE

*

OA = OC

1 = 1

Ví dụ 8: Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. chứng minh rằng:

          a, EH = EK          b, EA = EC.

 

Giải:

             (O); A, B, C, D  (O)

    GT    AB = CD

             AB  CD =

              AH = HB; CK = KD

    KL     a, EH = EK

              b, EA = EC

 

 

Lập sơ đồ chứng minh

a, chứng minh:EH = EK

OEK  =  OEK

  OH=OK    OE chung

AB = CD (gt)

 

chứng minh:

a, Kẻ OH, OK

Ta có: AH = HB (gt)

           CK = KD (gt)

nên OHAB; OKCD

(Đ. lý 3 – quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)

Vì AB = CD (gt) nên OH = OK

(Đ. lý liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây)

Xét OEK  và  OEK có:

 ( c/m trên)

OH = OK ( c/m trên)

OE cạnh chung

 OEK  =  OEK (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

 EH = EK (2 cạnh tương ứng)

(đpcm)

b, chứng minh: EA = EC

AH + EH = CK + EK

AH=CK         EH = EK(c/m ở phần a)

AB=CD(gt)    AH=1/2AB(gt)    CK=1/2CD(gt)

b,Vì AB = CD (gt)

Mà AH = HB (gt)  AH =

       CK = KD (gt)  CK =

 AH=CK (1)

Mặt khác: EH = EK(c/m ở phần a) (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2)

 AH + EH = CK + EK

 EA = EC   (đpcm)

c. Kẻ thêm đường phụ:

Khi giải một bài toán chứng minh hình học, trừ một số bài dễ còn lại phần lớn các bài toán đều cần phải vẽ thêm đường phụ mới chứng minh dược. Vậy vẽ đường phụ như thế nào và vẽ để nhằm mục đích gì? Đó là điều mà người học cần phải biết được đối với mỗi bài toán cụ thể. Không thể có một phương pháp chung nào cho việc vẽ đường phụ trong bài toán chứng minh hình học.

Ngay đối với một bài toán cũng có thể có những cách vẽ đường phụ khác nhau tuỳ thuộc vào cách giải bài toán.

 

      * Những điểm cần lưu ý khi vẽ đường phụ:

- Vẽ đường phụ phải có mục đích, không vẽ tuỳ tiện. Phải nắm thật vững đề bài, định hướng chứng minh từ đó mà tìm xem cần vẽ đường phụ nào phục vụ cho mục đích chứng minh của mình.

- Vẽ đường phụ phải chính xác và tuân theo đúng các phép dựng hình cơ bản.

- Với một bài toán nhưng vẽ đường phụ khác nhau thì cách chứng minh cũng khác nhau.

          * Một số loại đường phụ thường vẽ như sau:

          - Kéo dài một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước hay đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước.

          - Vẽ thêm một đường thẳng song song với đoạn thẳng cho trước từ một điểm cho trước.

          -  Từ một điểm cho trước vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước

           - Nối 2 điểm cho trước hoặc xác định trung điểm của một đoạn thẳng cho trước.

          - Dựng đường phân giác của một góc cho trước.

          - Dựng một góc bằng một góc cho trước hay bằng nửa góc cho trước

          -Vẽ tiếp tuyến với một đường tròn cho trước từ một điểm cho trước.

          - Vẽ tiếp tuyến chung, dây chung hoặc đường nối tâm khi có hai đường tròn giao nhau hay tiếp xúc ngoài với nhau.

          Ví dụ 9:  Trên hình vẽ bên có AB // CD, AD // BC.

                         Hãy chứng minh: AB = CD, AD = BC.

* Hướng suy nghĩ:

GV: Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta thường dựa vào đâu?

HS: Ta thường dự vào việc chứng minh hai tam giác bằng nhau nhận các đoạn đó làm cạnh.

GV: Ở đây không có tam giác, vậy ta phải làm thế nào?

HS: Nối A với C hoặc B với D.

AB = CD, AC = BD

*

*ACD = *DBA

*....

Ví dụ 10: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho        AD = BE. Qua D và E vẽ đường thẳng song song vơi BC, chúng cắt AC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng DM + EN = BC.

* Hướng suy nghĩ:

Rõ ràng việc cộng hai đoạn thẳng mà chúng không cùng nằm trên một đường thẳng mà lại bằng đoạn thứ 3 là khó.

Hướng suy nghĩ là cần phải chia đoạn BC thành hai đoạn thẳng lần lượt bằng DM và EN. Vậy cần tìm vị trí của một điểm, điểm K chẳng hạn, nằm trên đoạn BC mà BK = EN và KC = DM.

          Suy ra kẻ NK//AB, KÎ BC.

Ví dụ 11: (hai đường tròn giao nhau thì kẻ được dây cung chung.)

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm C, B D thẳng hàng.

Suy xét: Để chứng minh C, B, D thẳng hàng, ta có thể từ B kẻ BA và chứng minh 2 góc tạo bởi BA và hai tia BC, BD kề bù. Vì (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên

Giải:

- Nối BA, BC, BD

-  (. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

- mà

C, B, D thẳng hàng.

Ví dụ 12: (Nếu có bốn điểm nằm trên một đường tròn thì qua bốn điểm đó có thể dựng thêm đường tròn phụ.)

Cho tam giác ABC, các đường cao BH, CK. Chứng minh rằng:

a)Bốn điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn.

b)HK < BC.

 

Suy xét: Ở câu b), để chứng minh HK < BC, ta có thể vận dụng kết quả câu a): 4 điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn; nếu vẽ đường tròn đi qua 4 điểm B, C, H, K, ta có HK là dây cung còn BC là đường kính nên suy ra được điều phải chứng minh.

Chứng minh:

a)  -Gọi I là trung  điểm  của  BC IB=IC  (1)

    - Ta có IH = BC  (Tam giác BHC vuông tại H.) (2)

                -IK = BC (Tam giác BKC vuông tại K) (3)

     - Từ (1),(2),(3)  Suy ra: IB = IK= IH = IC

          hay 4 điểm   B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn

b) - Vẽ đường tròn tâm I đường kính BC

      Ta có: HK < BC (HK là dây không đi qua tâm còn BC là đường kính)

II.2.3. Rèn luyện cách trình bày bài toán chứng minh:

- Như trên đã nói việc trình bày lời giải bài toán của học sinh còn nhiều thiếu sót. Theo tôi người thầy cần phải đặc biệt coi trọng các tiết luyện tập để uốn nắn, tập luyện cho học sinh cách trình bày bài toán chứng minh hình học cho chặt chẽ, khoa học: có khẳng định phải có căn cứ, phải sử dụng các kí hiệu quy ước cho đúng...

II.2.4. Khai thác bài toán:

Trong giảng dạy môn toán, ngoài việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, thì việc phát huy tính tích cực của học sinh để mở rộng, khai thác thêm bài toán theo tôi là rất cần thiết, đặc biệt là công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Mặt khác từ kinh nghiệm giải quyết một bài toán, ta thường phải hình thành những mối liên hệ từ những điều chưa biết đến những điều đã biết, những bài toán đã có cách giải. Nên việc thường xuyên khai thác, phân tích một bài toán là một cách nâng cao khả năng suy luận, tư duy sâu cho học sinh.

          Ví dụ 13:  Trở lại ví dụ 1

          Đối với bài toán nàycòn có thể khai thác thêm:

          - Nối A với C, B với D. Chứng minh rằng:

          1) AC OE

          2) AC// BD

          hoặc chứng minh rằng OE là đường trung trực của AC hoặc BD.

          Ví dụ 14:  Cho tam giác ABC có . Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Chứng minh rằng:

a) ADB = ADC;

b) AB = AC.

          Đối với bài này khi làm xong ta có thể khai thác thêm: Ta còn có thể chứng minh được điều gì ? Học sinh sẽ phát hiện được AD  BC.

 

Ví dụ 15: Cho nửa đương tròn tâm O đường kính AB và M là một điểm nằm trên nửa đường tròn đó. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Qua M kẻ một tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By lần lượt tại C và D.

a) Chứng minh rằng CD = AC + BD và tam giác COD vuông.

b) OC và OD cắt AM và BM theo thứ tự tại E và F. Xác định tâm P của đường tròn đi qua bốn điểm O, E, M, F.

c) Chứng minh tứ giác ACBD có diện tích nhỏ nhất khi nó là hình chữ nhật và tính diện tích nhỏ nhất đó.

 

Hướng dẫn cáh tìm lời giải:

a) Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ điểm C và D để chứng minh hệ thức và

 để từ đó suy ra  (hình 30)

b) Chứng minh tứ giác OEMF là hình chữ nhật nên giao điểm P của hai đường chéo cách đều bốn đỉnh của hình chữ nhật

c) Tứ giác ACDB là hình thang, diện tích của nó là 1/2(AC + BD).AB. Hãy chứng minh AC + BD nhỏ nhất khi CD // AB.

Lời giải:

a) AC = CM;  DM = DB. (tính chất của hai tiếp tuyến xuất phát từ C và D)

Suy ra AC + DB = CM + MD = CD.

Ta lại có: OC là phân giác của , OD là phân giác của góc  mà  hay tam giác COD vuông tại O.

b) Tứ giác EMFO là hình bình hành có một góc vuông nên nó là hình chữ nhật. Tâm P của hình chữ nhật này cách đều 4 đỉnh, do vậy P là tâm đường tròn đi qua 4 điểm O, E, M, F

c) Tứ giác ACBD là hình thang vuông có diện tích bằng  (ON là đường trung bình của hình thang). Vậy diện tích ACDB nhỏ nhất khi bằng AQ.AB hay . Khi đó N trùng với Q và ACDB là hình chữ nhật (tiếp tuyến CD // AB).

Khai thác bài toán

Ta có thể đặt thêm các câu hỏi sau đây: Khi M chạy trên nửa đường tròn (O).

d)Tìm quỹ tích của N;

e)Tìm quỹ tích của P;

f)Chứng minh tích AC.BD không đổi.

Giải:

         d) Vì ON là đường trung bình của hình thang ACBD nên ON // Ax // By. Do đó quỹ tích N là tia Qt song song và cách đều hai tia Ax và By

         e) Giao điểm P các đường chéo của hình chữ nhật OEMF cách O một khoảng  điểm O cố định, khoảng cách PO không đổi nên quỹ tích của P là nửa đường tròn đồng tâm với (O) bán kính bằng nửa bán kính của (O).

         f) Xét tam giác vuông COD có OM là đường cao nên OM2 = MC.MD, mà MC = AC, MD = BD và OM = R do đó: AC.BD = R2 không đổi.

 

         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C- KẾT LUẬN

Đích cuối cùng của học toán là học sinh có được phương pháp giải toán và vận dụng vào thực tế. Để đạt được điều đó người thầy cần phải chú trọng đến phương  pháp tổ chức học sinh hoạt động trong quá trình dạy học. Điều rất quan trọng là phải gợi động cơ học tập của học sinh trong các môn học nói chung và trong phân môn hình học nói riêng. Rèn luyện cho các em có thói quen đọc kĩ đề bài, vẽ hình chính xác, phân tích hình vẽ để tìm hướng giải bài toán sau đó trình bày bài cho khoa học. Sau mỗi bài giải nên có lời bình, khai thác bài toán (nếu có thể)

          Cuối cùng, người thầy phải hiểu được tâm lí của học sinh để truyền tải kiến thức cho hợp lí vừa sức với học sinh, tạo ra bầu không khí thoả mái trong lớp, tránh sự gò bó, áp đặt với học sinh.

          Với những suy nghĩ trên, hy vọng phần nào giúp học sinh có phương  pháp làm bài tập hình học hiệu quả hơn. Rất mong muốn được sự tham gia góp ý xây dựng của đồng nghiệp để chuyên đề đạt kết quả tốt hơn.

Xin chân thành cảm ơn!

THUY
Tin liên quan